SILLABI DEI CORSI DELLA LAUREA TRIENNALE ordinamento 270

ALGEBRA I

1. Insiemi: elementi sulla cardinalità.
2. Gruppi: teoria elementare, nozione di azione, gruppi lineari.
3. Anelli: teoria elementare, aritmetica negli anelli euclidei.
4. Campi: estensioni algebriche e trascendenti come quozienti di anelli di polinomi.

ALGEBRA II

1. Gruppi: esempi ulteriori di azione, teoremi di Sylow.
2. Anelli: PID, UFD, teorema del trasporto.
3. Campi: campi di spezzamento di polinomi, gruppo di Galois come gruppo di permutazioni sulle radici, corrispondenza di Galois.
4. Moduli: teoria elementare, struttura dei moduli finitamente generati su un PID, applicazioni.

ALGEBRA III (Istituzioni di Algebra Superiore)

1. Algebra multilineare.
2. Algebra commutativa: ideali, spettro primo, anelli noetheriani, decomposizione primaria.

ANALISI I

1. Numeri reali, topologia retta reale.
2. Limiti di successioni e di funzioni, continuita', uniforme continuita'.
3. Calcolo differenziale, regole di derivazione, funzioni monotone, massimi e minimi relativi, teorema di Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy e Teoremi de l'Hôpital.
4. Integrazione di Riemann, integrabilita’ di funzioni monotone e funzioni continue. Teorema Fondamentale del Calcolo, Integrali indefiniti, Integrazione per sostituzioni e per parti. Principali metodi di integrazione esplicita. Teorema della media integrale. Lunghezza di un arco di curva e area di superfici.
5. Equazioni differenziali lineari di I e II ordine, integrale generale e problema di Cauchy. Formula di variazione delle costanti.

ANALISI II

1. Sviluppi di Taylor, resti di Peano, Lagrange e Cauchy, approssimazioni
2. Funzioni convesse, proprieta’ locali dei punti stazionari (massimi, mininimi, punti di flesso), studi di funzioni, derivazione di integrali con estremi variabili (formula di Leibnitz) e funzioni integrali.
3. Successioni per ricorrenza, metodo delle secanti e metodo di Newton,
4. Serie e integrali impropri. Formula di Stirling e applicazioni.

ANALISI III

1. Spazi metrici e normati, limiti di successioni e funzioni, continuita’.
2. Calcolo Differenziale in piu’ variabili, derivate parziali, direzionali, differenziali e gradienti, linee di livello, massimi e minimi, teorema del Dini, teoremi di inversione locale e delle funzioni implicite. Estremi vincolati, moltiplicatori di Lagrange.
3. Integrali di Riemann per funzioni di due variabili, integrazione su domini normali, applicazioni geometriche e fisiche, cambi di variabile. Integrali multipli, cambi di variabile, applicazioni.
4. Forme differenziali, richiami sulle curve piane, curve rettificabili, integrali curvilinei, integrazioni di campi vettoriali, forme chiuse, forme esatte, campi irrotazionali e conservativi. Formula di Green, Teorema di Stokes nel piano.
5. Richiami sulle superfici in forma parametrica, orientamenti, integrali di superficie. Formula di Coarea (caso regolare)
6. Integrazione di 2 forme su una superficie, flusso di un campo vettoriale. Teorema di Stokes. Teorema della divergenza. Potenziali Vettori.
7. Successioni di funzioni, convergenza puntuale e uniforme. Serie di funzioni, serie di potenze, funzioni analitiche reali. Passaggio al limito sotto segno di integrale e di derivata.
8. Equazioni differenziali ordinarie in forma normale e in forma implicita. Riduzione al primo ordine di problemi di ordine superiore. Problema di Cauchy. Operatori differenziali lineari coefficienti costanti. Sistemi del primo ordine, matrici esponenziali. Operatori a coefficienti variabili, wronskiani. Formule di variazione delle costanti.
9. Spazi metrici completi, teorema di punto fisso di Banach – Picard, teorema di esistenza e unicita’ locale di Caucy Lipschitz, teoremi di prolungamento. Esplosione in tempi finiti. Fenomeno di Peano. Studi qualitativi per equazioni differenziali ordinarie.

ISTITUZIONI DI ANALISI SUPERIORE (ANALISI IV)

1. Numeri Complessi, radici di un numero compleso, Limiti e continuita’ nel campo complesso, Derivazioni di funzioni di variabile complessa, funzioni olomorfe, condizioni di Cauchy – Riemann, Integrazione nel campo complesso, Teoremi di Cauchy, Principio Massimo modulo, Teorema di Morera e di Liouville.
2. Richiami sulle serie di potenze, funzione analutiche nel campo complesso, serie di Taylor, unicita’ di una funzione analitica. Continuzione analitica, funzioni elementari nel campo complesso. Superfici di Riemann.
3. Serie di Laurent e singolarita’ isolate, poli, singolarita’ essenziali e teorema di Casorati Weierstrass. Residui e loro applicazioni. Calcolo di integrali. Indicatore Logaritmico, teorema di Rouche, teorema fondamentale dell’ algebra. Cenni alla trasformata di Laplace.
4. Mappe conformi, trasformazioni omografiche (lineari fratte) di Moebious. Applicazioni.
5. Funzioni armoniche e applicazioni.
6. Spazi vettoriali, norme, seminorme, teorema di Hahn – Banach, applicazioni. Spazi di Banach, operatori lineari, richiamo al teorema di Baire e teoremi di grafico chiuso, applicazione aperta. Teorema di uniforme limitatezza. Applicazioni
7. Spazi di Hilbert, teorema di proiezione di Riesz, teorema di Lax – Milgram.
8. Misura di Lebesgue, integrazione secondo Lebesgue, lemma di Fatou, teoremi di passaggio al limite sotto segno di integrale. Spazi L^p. Spazio L^2.
9. Serie di Fourier, teoremi di convergenza.
10. Operatori compatti su spazi di Hilbert, operatori limitati e autoaggiunti e loro teoria spettrale. Approsssimazioni di rango finito. Operatori integrali di Fredholm. Teorema dell’ alternativa.
11. Trasformate di Fourier, esempi e applicazioni. Estensione a L^2.

ANALISI V

ANALISI NUMERICA

1. Problemi numerici e algoritmi; condizionamento e stabilità.
2. Algebra lineare numerica. Metodi per la soluzione di sistemi lineari. Metodi per la ricerca degli autovalori.
3. Approssimazione di funzioni; interpolazione e minimi quadrati.
4. Metodi iterativi per la determinazione degli zeri di funzione.
5. Formule di quadratura.
6. Sviluppo di alcuni algoritmi in linguaggio MATLAB.

FISICA I

1. Il punto materiale. Cinematica del punto materiale.
2. Principio di inerzia e sistemi di riferimento inerziali. Il secondo principio della dinamica.
3. Reazioni vincolari. Quantita’ di moto e sua conservazione. Impulso diuna forza. Momento angolare e sua conservazione. Moti relativi. Forze apparenti.
4. Lavoro ed energia cinetica. Conservazione dell'energia. Forze conservative.
5. Legge di gravitazione universale. Applicazioni.
6. Forze di attrito. Forze elastiche. Moti armonici.
7. Equazioni della Dinamica dei sistemi materiali. Conservazione della quantita’ di moto e del momento angolare. Energia.
8. Il concetto di sistema termodinamico. Variabili di stato e temperatura.
9. Primo principio della termodinamica. Calore e Lavoro. Energia interna.
10. Gas ideali e gas reali
11. Secondo principio della Termodinamica. L'Entropia. Potenziali Termodinamici

FISICA II

MECCANICA RAZIONALE

1. Richiami di equazioni differenziali. Equilibrio e stabilita'. Teoremi di Liapunov.
2. Riferimento spazio-temporale,  punto materiale e leggi di Newton. Sistemi di punti materiali.
3. Sistemi unidimensionali.
4. Forze  centrali, problema dei due corpi, leggi di Keplero. Problema della diffusione (scattering).
5. Sistemi  vincolati ed equazioni di Lagrange.
6. Equilibrio. Criterio di Dirichlet. Piccole oscillazioni. Modi Normali. Sistemi di oscillatori ed equazione della corda vibtrante.
7. Dinamica del corpo rigido.
8. Principi variazionali di Hamilton e di minima azione. Analogia tra ottica e meccanica.
9. Equazioni di Hamilton. Integrali primi e parentesi di Poisson.
10. Trasformazioni canoniche. Funzioni generatrici.
11. Equazione di Hamilton-Jacobi. Metodo di separazione delle variabili. Variabili azione-angolo. Soluzione del problema di Keplero in variabili azione-angolo.
12. Simmetrie. Flusso hamiltoniano. Teoremi di Liouville e Poincare'. Equazione di Liouville.
13. Sistemi integrabili. Introduzione alla teoria delle perturbazioni di sistemi integrabili.

EQUAZIONI DELLA FISICA MATEMATICA

1. Equazioni del primo ordine. Leggi di conservazione. Caratteristiche. Sviluppo di singolarita'. Soluzioni deboli, soluzioni entropiche.
2. Problemi che conducono all'equazione di Laplace e Poisson. Soluzione fondamentale. Funzioni armoniche e loro proprieta'. Principio di massimo.
3. Soluzione di problemi al contorno per l'equazione di Laplace e Poisson. Funzione di Green. Metodo dell'energia. Principio di Dirichlet.
4. Problema della conduzione termica e della diffusione. Equazione del calore. Soluzione fondamentale. Principio di massimo in domini limitati e non. Esempio di non unicita'. Soluzione di problemi di Cauchy e misti per l'equazione del calore. Metodo dell'energia.
5. Problema della corda vibrante. Soluzioni unidimensionali. Soluzioni multi-dimensionali. Formule di Kirkhoff. Cono caratteristico. Disuguaglianza del-l'energia. Equazioni di Maxwell ed Equazioni di Eulero. Onde elettromagnetiche ed acustiche. Soluzione di problemi di Cauchy e misti per l'equazione delle onde.
6. Argomento a scelta del docente (esempi: Campo generato da una carica in moto. Esistenza di soluzioni locali per equazioni a derivate parziali e Teorema di Cauchy-Kowaleskaya. Equazione di reazione-diffusione. Equazione di Schroedinger).

MODELLI MATEMATICI DEI SISTEMI MACROSCOPICI

1. Teorie cinetiche: Equazione di Lorentz: entropia e distribuzioni stazionarie. Derivazione euristica dell’equazione di Boltzmann. Teorema H e distribuzioni di Maxwell. Equazione di stato del gas di Boltzman. Pressione cinetica e pressione termodinamica. Energia libera e principio variazionale per l’energia libera. Potenziale di Gibbs e principio variazionale per il potenziale di Gibbs. Termostati e sistemi in contatto termico ed energetico.
2. Introduzione alla Meccanica Statistica dell'equilibrio. Modello d’Ising e misure di Gibbs. Limite termodinamico. Convessita’ della pressione. Modello di campo medio, teoria della transizione di fase di van der waals. Ensemble statistici: (gran canonico, canonico e microcanonico) e loro deduzione tramite principi variazionali. Cenni all’equivalenza degli ensembles. Potenziali stabili.
3. Cenni alla Teoria ergodica: invarianza della misura microcanonica per il flusso Hamiltoniano. Teorema di Birkhoff. Definizioni equivalenti di sistemi erodici.

GEOMETRIA I

1. Matrici e sistemi lineari. Determinanti. Spazi Vettoriali.
2. Geometria affine del piano e dello spazio.
3. Trasformazioni lineari e diagonalizzazione. Forma canonica di Jordan.
4. Forme bilineari e forme quadratiche. Diagonalizzazione delle forme quadratiche. Prodotti scalari.

GEOMETRIA II

1. Geometria euclidea del piano e dello spazio.
2. Operatori unitari e isometrie. Isometrie del piano e dello spazio.
3. Diagonalizzazione di operatori simmetrici.
4. Spazi proiettivi e proiettività.
5. Classificazione affine, euclidea e proiettiva delle coniche.
6. Cenni di classificazione delle quadriche.

GEOMETRIA III

1. Spazi tolopogici e spazi metrici: continuità, assiomi di separazione, compattezza, compattezza per successioni, connessione e connessione per archi.
2. Teoria locale delle curve piane e sghembe.
3. Geometria globale delle curve piane.
4. Superfici. Orientabilità. Metriche Riemanniane. Elemento d’area e integrazione.
5. Trasporto parallelo e geodetiche.
6. Curvatura Gaussiana. Prima e seconda forma quadratica. Teorema Egregium di Gauss. Equazioni di Gauss e di Codazzi-Mainardi

ISTITUZIONI DI GEOMETRIA (GEOMETRIA IV)

1. Gruppo fondamentale.
2. Spazi topologici semplicemente connessi.
3. Rivestimenti.
4. Classificazione topologica delle superfici compatte.
5. Elementi di omologia e coomologia simpliciale.
6. Coomologia di de Rham delle superfici compatte e orientabili.
7. Il teorema di Gauss-Bonnet.

GEOMETRIA V

1. Introduzione alla Geometria Algebrica: Cenni su curve piane e di sistemi lineari curve.
2. Varietà affini e proiettive.
3. Applicazioni polinomiali e razionali.
4. Spazio tangente e nonsingolarità, dimensione.
5. Studio di particolari varietà algebriche: varietà di Segre, varietà di Veronese, varietà di Grassmann, superficie cubica, superficie di Hirzebruch.

INFORMATICA

PROBABILITA'

1. Spazi di probabilita': proprieta', costruzione, esempi.
2. Variabili aleatorie continue e discrete e loro distribuzioni.
3. Probabilta' condizionate, indipendenza.
4. Media varianza  covarianza e momenti. Funzioni generatrici, funzioni caratteristiche  ed applicazioni.
5. Convergenze di variabili aleatorie.
6. Legge dei grandi numeri e Teorema del limite centrale. Cenni alle grandi deviazioni.
7. Catene di Markov: classificazione degli stati, distribuzioni stazionarie ed ergodicita'.

MODELLI MATEMATICI DEI MERCATI FINANZIARI

Martingale a tempo discreto. Modelli discreti, primo e secondo teorema fondamentale dell'asset pricing. Contratti Future e Forward.Valutazione e copertura delle opzioni Europee e delle opzioni Americane. Passaggio al limite del modello di Cox Ross Rubinstein, Formula di Black e Scholes. Valutazione e copertura di derivati di tipo Europeo. Cenni al Moto Browniano Valutazione delle Obbligazioni e modelli di tassi di interesse.

INTRODUZIONE ALLA STATISTICA ED ALLE SERIE STORICHE

L'approccio della statistica: esempi. Stimatori, regioni di confidenza. Analisi della regressione. Metodi di massima verosimiglianza. Processi stocastici; stazionarietà forte ed in covarianza. Proprietà ergodiche. Uso pratico della funzione di autocorrelazione. Stazionarietà e processi evolutivi. Processi stocastici normali o gaussiani. Modelli speciali a parametro discreto: MA (Moving average) ed AR (autoregressive). Processi lineari generali ed armonici.