Teoria della misura e integrazione, Funzioni BV, Spazi di Lebesgue, Teoria delle distribuzioni, Trasformate di Fourier, Spazi di Sobolev, Soluzioni deboli per equazioni alle derivate parziali, altre applicazioni varie a scelta del docente.
Da comunicare
Metodi iterativi per la soluzione di sistemi lineari di grandi dimensioni. Metodi numerici per la soluzioni di equazioni e sistemi non-lineari. Metodi di ottimizzazione per funzionali quadratici. Metodi di discesa per problemi generali di minimizzazione vincolata e non vincolata. Metodi numerici per problemi di Cauchy.Teoria della stabilità per metodi a un passo. Problemi stiff. Sviluppo di un solutore implicito in linguaggio MATLAB. Metodi numerici per problemi al contorno.
Da comunicare
Introduzione alla Meccanica dei Sistemi continui. Fluidi. Modello di fluido ideale. Fluido ideale incompressibile. Proprieta' del fluido ideale incompressibile ed isoentropico. Paradosso di D'Alambert. Modello del fluido viscoso. Soluzioni elementari. Stabilita' e turbolenza. Costruzione di soluzioni. Operatori lineari su spazi di Hilbert. Formulazione della meccanica quantistica. Modelli esattamente risolubili (particella libera, interazione puntuale, atomo di idrogeno). Introduzione alla teoria della diffusione (scattering) quantistica. Introduzione al limite classico di un sistema quantistico.
Corso con letture assistite su argomenti da concordarsi con il docente su aspetti di Meccanica Statistica dell'equilibrio, di Meccanica Statistica del non equilibrio, Teoria Cinetica e Meccanica Quantistica.
Varietà e applicazioni differenziabili. Vettori tangenti, fibrato tangente e fibrato cotangente. Campi vettoriali e loro flussi. Teorema di Frobenius. Forme differenziali. Orientabilità e integrazione di forme differenziali. Formulazione duale del teorema di Frobenius. Gruppi e algebre di Lie. Azioni di gruppi di Lie e spazi omogenei.
Introduzione alla topologia algebrica: gruppi di omologia singolare.Omomorfismi indotti. Teorema dell'invarianza omotopica dell'omologia. Teorema di Hurewicz. Successioni esatte. Omologia relativa. Teorema di escissione. Successione di Mayer-Vietoris. Esempi di calcolo in omologia. Gruppi di coomologia. (Copre 6 CFU)
Questo corso e' di introduzione alla teoria dei processi stocastici in tempo continuo con particolare enfasi ai processi di Markov. Oltre alla teoria matematica interessante di per se', attraverso esempi ed applicazioni si cerca di svilluppare nello studente le intuizioni probabilistiche necessarie per formulare modelli stocastici di fenomeni di interesse concreto in vari campi: biologia, fisica, ecc.
Processo di Poisson: proprieta' e definizioni equivalenti. Esempi di processi di nascita. Processi di Markov omogenei in tempo continuo e con spazio degli stati finito o numerabile. Processi di salto. Equazioni di Kolmogorov. Generatore infinitesimale. Esplosione, condizioni per l'esistenza del processo. Processi di nascita e morte. File di attesa. Distribuzioni invarianti. Condizione di bilancio dettagliato e processi reversibili. Processi di conteggio in generale. Processi di rinnovamento. Moto Browniano. Generatore ed equazione del calore. Proprieta' delle traiettorie. Ponte Browniano. Tempi di arresto e proprieta' di Markov forte. Tempi di primo arrivo ad un punto: distribuzione e proprieta'. Distribuzione del massimo. Legge dell'arcoseno. Moto Browniano con barriera assorbente. Moto Browniano con drift. Probabilita' di uscita da un intervallo. Martingale costruite col moto Browniano. Cenni al processo di Ornstein-Unhlenbeck. Costruzione del moto Browniano come limite del random walk.
Obbligazioni ed il rischio dei tassi d'interesse; azioni: i dividend discount model; investimenti industriali in contesto di certezza: criteri e metodi, statica comparata e programmazione dinamica deterministica; attività rischiose primarie: Markowitz's portfolio selection, CAPM, APT e modelli multi index; attività rischiose derivate: martingale pricing per opzioni finanziarie; Introduzione pratica ad alcuni processi stocastici rilevanti per la valutazione dei titoli derivati: Geometric Brownian Motion, univariato e multivariato, Geometric Ornstein Uhlenbeck. Simulazioni Monte Carlo;
Mercati future e forward; Modelli a fattore singolo per lo studio della struttura temporale dei tassi d'interesse alcuni derivati sui tassi d'interesse e il loro ruolo nella gestione dell'indebitamento aziendale; investimenti industriali in contesto di rischio assicurabile: criteri e metodi, statica comparata e programmazione dinamica stocastica (opzioni reali); leva finanziaria, modelli normativi e teoremi di economia positiva La politica dei dividendi, teoremi di economia positiva ed evidenze empiriche.
Epistemologia dell’apprendimento.Triangolo di Chevallard-Joshua. Teoria delle situazioni didattiche. Conseguimento dei concetti matematici. Misconcezioni, modelli e schemi. Registri semiotici. Componente figurale e componente concettuale dei concetti geometrici. Ostacoli didattici ed epistemologici nell’apprendimento della matematica. Didattica metacognitiva. Spiegare, argomentare, dimostrare nell’apprendimento della matematica. Il pensiero ipotetico deduttivo. Il pensiero induttivo, varie formulazioni del primo principio d’Induzione matematica.
Questioni storico critiche relative alla matematica elementare (algebra e geometria) secondo la rielaborazione rinascimentale. Le origini del calcolo infinitesimale. Tematiche cruciali di geometria, analisi e fisica matematica nell'Ottocento: connessioni e interdipendenze. La problematica dei fondamenti tra Ottocento e Novecento.